系统科学：

To Provide a Systematic(Unified,Universal) View for Varies Complex Systems By a Systematic Approach

• 对象：各个领域的复杂系统
• 方法：系统学方法
• 目标：获得系统的、统一、普适的认识

自组织理论

科学发展的宇宙暴涨理论。

物质世界由：电子、电子中微子、up和down夸克构成。是系统科学的问题。

• 主宰世界的基本规律：牛顿力学和量子力学(薛定谔方程)

  $ \vec{F}=m \frac{d^{2} \cdot \vec{r}}{d t^{2}} $和$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H} \psi $

  这两个公式是时间反演不变的，表明这两个公式描写的运动规律不带时间箭头，完全可逆。

  时间反演不变例如单摆，倒放仍然符合牛二定律，没有时间方向。

• 热力学第二定律(带有时间箭头，懒婆娘定律)

  孤立系统中的自发过程总是导致体系中熵的增加

  • 存在时间箭头
  • 指向无序混乱

  生命是如何从无序的状态演变为有序呢？？

• 自组织现象

  自组织系统的主要特征：

  • 开放系统、与环境有物质和能量交流。
  • 组元众多，并且存在非线性相互作用。
  • 远离平衡态。
  • 涨落是有序结构形成的触发器。

  自组织论的概念：耗散结构、序参量、对称破缺、时空结构、熵、稳定性、鲁棒性

• 自组织研究方法

  • Top–Down(宏观)：宏观层次的动力学方法
    • 根据系统的演化机制，建立描述系统状态变量满足的非线性微分方程组。通常称其为反应扩散方程。
    • 微分方程的定性理论，如稳定性理论、分叉理论等，给出系统发生相变的条件，以及出现的稳定有序结构的具体形式。
    • 利用在研究非线性问题时建立的突变论、混沌理论、分形理论等来研究自组织理论所讨论的问题。
    • 数值计算，给出针对某些参数的系统演化曲线。
  • Bottom–up(微观)：自底向上的多主体方法
    • 主体的行为规则
    • 主体之间的相互作用规则
    • 基于主体的模拟方法考察系统整体的自组织行为
    • 基于统计物理学方法的理论分析
  • Meso-Scopic Level：中观层次的随机方法
    • 对系统进行中观层次上的分析，通常选择随机变量进行讨论
    • 根据系统演化机制建立随机变量满足的主方程、 Fokker Planck方程、或 Langevin方程，针对方程的不同形式，选择相应的数学方法进行求解。
    • 无论宏观上用反映扩散方程讨论，还是中观上的随机方法都已经形成了相当完整的理论体系，提出了不少数学处理问题的方法。

动力学与混沌

如何用动力学的手段来研究系统的演化？

• 动力学描述的普遍性

  动力学：

  • 刻画系统随时间演化的一般方法
  • 揭示系统状态变化的内在机制

  在大气运动、地理、人文、金融等各个方面，动力学都有广泛的应用。

• 动力学建模(以群体动力学为例)：

  种群演化的最基本的模型(Malthus模型)：$\frac{d x}{d t}=\lambda x$。

  这显然不合理，因为增长还会收到环境的约束，所以进一步细化

  Logistic模型：$\frac{d x}{d t}=\lambda x\left(1-\frac{X}{N}\right)$

  

  如果狼和兔子生活在同一个环境中，是什么样的动力学模型？

• 动力系统定性分析(彭加莱)：系统最终会走向何处？

  • 微分动力系统(连续的)：$\frac{d \vec{X}}{d t}=f(\vec{X}, \lambda)$

  • 开普勒二体问题：如果两个物体之间的相互作用力为万有引力，那么当你 站在一个质点上观察另一个质 点的运动时，另一个质点的轨 道一定是直线、抛物线、概圆 或者双曲线的一支。

  • 拉普拉斯决定论：我们可以认为宇宙的现在 是由它的过去来决定的;现在也是决定未来的原因。如果有一位 智者在某一时刻获知了自然界一切物体的位置和相互作用力，并且他具有超常的数据分析能力 那么他就可以把宇宙这个最庞大的物体直至到原子这个最细微的颗粒全都囊括到一个公式中去。对于这位智者来说，没有什么东西是不确定的–宇宙的未来就会像他的过去一样完全呈现在他的眼前。

  • 三体问题：很复杂，最终不再希望得到解析解。而是进行定性的研究。

  • 动力系统定性理论：关系系统演化在$t \rightarrow \infty$时的定性行为

    • 趋于无穷
    • 不动点
    • 周期解
    • 其他(混沌运动)

• 动力系统的数值方法(欧拉方法)
  $$
  \begin{array}{c}
  \frac{\Delta X}{\Delta t}=f(X, \lambda) \
  \Delta X=f(X, \lambda) \Delta t \
  X(t+\Delta t)-X(t)=f(X(t), \lambda) \Delta t \
  X(t+\Delta t)=X(t)+f(X(t), \lambda) \Delta t
  \end{array}
  $$

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• Logistic映射(离散的演化)：同样可以通过定性分析或者数值计算的方法来了解具体的演化
  $$
  \mathbf{x}{\mathrm{n}+1}=\lambda \mathbf{x}{\mathrm{n}}\left(1-\mathbf{x}_{\mathrm{n}}\right)
  $$

  

• 混沌系统：

  • 对初始条件敏感、依赖
  • 有界性(系统运动的有界空间之内)

• Lorenz系统(大气动力学)：
  $$
  \left{\begin{array}{c}\dot{x}=a(y-x) \ \dot{y}=c x-x z-y \ \dot{z}=x y-b z\end{array}\right.
  $$
  看似简单，但是没办法得到解析解。初值敏感依赖现象。

  存在混沌吸引子，a=10,b=8/3,c=28，不发散、不收敛、非周期，是混沌行为的典型案例。

  

元胞自动机

• 是个啥？

  

  呐这就是一个简单的元胞自动机，每个格子都是一个元胞，i有两种可能的取值0和1，元胞在下一时刻的状态是由他自己和他左右的邻居决定的，演化公式如下：

  • $ x_{i}^{t} $是格子i在t时刻的状态：
    $$
    x_{i}^{t}=\left{\begin{array}{l}0 \ 1\end{array}, i=1,2, \ldots \ldots, L\right.
    $$

• 状态演化方程：
  $$
  x_{i}^{t+1}=f\left(x_{i-1}^{t}, x_{i}^{t}, x_{i+1}^{t}\right), \quad i=1,2, \ldots . ., L
  $$

  所以决定i下一个时刻状态的前提条件就是8种(left1/0，self1/0，right1/0)，在这8种初始的条件下，i可以取0或者1两种状态，组合起来就是$2^8=256$种，所以，初等的元胞自动机就是由这256种策略来决定的元胞的演化。为了更加直观的刻画元胞自动机的状态演化，引入时空图的描述方法，且看(1的时候涂成黑色)：

  

• NetLogo

  下载地址

  • 用netLogo观察一维元胞自动机，以下是用netLogo观察到规则169下的时空图情况。
  

  • Wolfram对初等元胞自动机的分类：

    • 平稳性：自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞空间趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态。不随时间变化而变化。
    • 周期型：经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固定结构（ Stable Paterns）或周期结构（ Perlodical Patterns）。
    • 复杂型：出现复杂的局部结构，与非线性映射中的混沌行为有对应关系，其中有些会不断地传播。

  • 系统演化描述方法小结：

    

• 元胞自动机-交通流的NS模型

  • 是在184条元胞自动机规则之上提出的，NS模型是一个随机CA交流模型，每辆车的状态由他的速度和位置标示，状态按照以下演化规则并行更新：

    1. 加速过程：$v_{n} \rightarrow \min \left(v_{n}+1, v_{\max }\right)$
    2. 安全刹车过程：$v_n \rightarrow \min \left (v_n,d_n-1 \right)$
    3. 随机慢化过程(以随机慢化概率p)：$v_n \rightarrow \max \left(v_n-1,0 \right)$
    4. 位置更新：$x_n \rightarrow x_n+v_n$

  • NetLogo建模(假设$v_{max}=2$，$p=1/3$)

    

• DLA模型

多主体建模方法

分形

复杂网络