基于matlab实现PCA图像压缩

数据在大数据时代成为一笔宝贵的财富，随之而来的是海量的数据的传输和存储问题。大量数据的重复和冗余让我们不得不对数据进行压缩处理。对于图像压缩的问题，目标是最小化压缩数据和最大化保留原样本数据，方法可以分为有损压缩和无损压缩。本文就是基于PCA实现的一种图像的有损压缩方法，项目基于matlab实现。

PCA相信大家都不陌生，就是用样本的协方差矩阵进行特征分解，求出协方差矩阵的特征值和特征向量，找出其中较大的几个特征值对应的特征向量作为主成分，并将样本向量向主成分上做投影，利用投影后的数据表示原数据，从而降维和去除冗余。这里不对PCA的具体原理说明。

PCA算法的步骤

先举个例子说明PCA算法的主要步骤，这样就可以直接写算法了，很简单。

• 数据去中心化 $ (X_i-E(X)) $

  $$
  X = \left( {\begin{array}{{20}{c}}
  {100} & {200} & {300} & {400} & {500} \
  {150} & {450} & {560} & {750} & {1100} \
  \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{{20}{c}}
  {300} \
  {602} \
  \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  { - 200} & { - 100} & 0 & {100} & {200} \
  { - 452} & { - 152} & { - 42} & {148} & {498} \
  \end{array}} \right)
  $$

• 计算协方差矩阵 $ C_x = XX’ $

$$
{C_x} = X{X^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{25000} & {55000} \
{55000} & {124770} \
\end{array}} \right)
$$

• 对协方差矩阵进行奇异值分解$(SVD)$

$$
{C_x} = \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{ - 0.9143} & {0.4051} \
{0.4051} & {0.9143} \
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{{20}{c}}
{149140} & 0 \
0 & {630} \
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 0.9143} & {0.4051} \
{0.4051} & {0.9143} \
\end{array}} \right)
$$

• 取$K$个特征值和特征向量构成一个变幻矩阵(这里是1)

  $$
  {P_k} = \left( {\begin{array}{{20}{c}}
  {0.4051} \
  {0.9143} \
  \end{array}} \right) \times 149140 = \left( {\begin{array}{{20}{c}}
  {60410} \
  {136350} \
  \end{array}} \right)
  $$

• 将原始投影映射到K维空间

$$
Y = P_K^TX
$$

设计实现PCA算法

其实不管是matlab还是python的sklearn包里面都包含了PCA算法，这里既然知道了算法的原理和具体步骤，完全可以自己设计实现。先贴出完整的matlab代码

%% 利用PCA对图像压缩
close all
clear 
clc
%% 输入参数
num_val = 4;                                 %取前num_val个特征值
size_block = 4;                              %取size_block*size_block块
%% 批量处理图片
img_path = 'D:\development\MATLAB\About_image\PCA\Origin_Data\NWPU VHR-10 dataset\negative image set\';
path_list = dir(strcat(img_path,'*.jpg'));
img_num = length(path_list);
if img_num>0
    for pn = 1:10
        img_name = path_list(pn).name;
        origin_img = imread(strcat(img_path,img_name));
        %fprintf("%d %s\n",pn,strcat(img_path,img_name));
        %图像处理的具体方法
        In = imresize(origin_img,[256,256]);
        % 测试的图像灰度化
        %In = rgb2gray(In);
        % 将原图像矩阵分割成n*n的块，再转化为列矩阵，构成最终矩阵reIn
        In = im2double(In);
        [row ,rol] = size(In);
        m = 0;
        Data = zeros(size_block*size_block,(row/size_block)*(rol/size_block)); 
        for i = 1:size_block:row
           for j = 1:size_block:rol
              m = m+1;
              block = In(i:i+size_block-1,j:j+size_block-1);
              Data(:,m) = block(:);
           end
        end
        %PCA处理
        Data1 = Data - ones(size(Data,1),1)*mean(Data);             % 标准化处理
        c = cov(Data1');                                     % 求矩阵协方差矩阵
        [vec,val] = eig(c);                                      % 求特征值和特征向量
        % 按特征值降序排列
        val = diag(val);                                        % 从对角线拿出特征值
        [val ,t] = sort(val,'descend');                             % 特征值降序排列
        vec = vec(:,t);
        %重构图像
        vec_new = vec(:,1:num_val);
        rata = val./sum(val);
        rata_sum = sum(rata(1:num_val));
        fprintf("当前图片处理的进度是%g----",pn/img_num);
        fprintf('当前图片选取%g个特征值的贡献率为：%g\n',num_val,rata_sum);
        y = vec_new'* Data;                                      % 映射 由公式：y=w'*x
        Data2 = vec_new * y;                                    % 重构图像
        Data2 = Data2 + ones(size(vec_new, 1), 1) * mean(Data);     % 加均值
        m = 0;
        for i = 1:size_block:row
            for j = 1:size_block:rol
                m = m + 1;
                block1 = reshape(Data2(:, m), size_block, size_block);        % 列向量块转化为方块
                Out(i:i+size_block-1, j:j+size_block-1) = block1; 
            end
        end
        Out1 = Out(:,1:256);
        Out2 = Out(:,257:2*256);
        Out3 = Out(:,2*256+1:768);
        RGB = cat(3,Out1,Out2,Out3);
        imwrite(RGB,strcat('D:\development\MATLAB\About_image\PCA\After_PCA_Data\negative image set\',img_name));
        %imwrite(RGB,strcat(img_name,'.jpg'));
    end
end

这里说明一下，如果我们一开始输入时RGB图像，那么图像有三个通道，直接绘制的话，会是三个通道的图片。所以如果我们只需要灰度图片，在代码的一开始，先用rgb2gray函数把RGB图像转换为灰度图像。如果需要保存彩色图像，则需要在代码的最后，则需要用cat函数把三个通道组合在一起，输出为一张RGB图片。代码关键的地方都有注释。

运行结果

我们选的数据集一共只有150张图片，当我选择不同数量的主成分的时候，会得到不同的结果，主成分的选取越大，图像越接近原图像，压缩比例也就不好。

然后看一下具体的压缩效果：

对于原始的图片：

对于压缩后图片：

啊哈还行哈，单个图片的对比就不放上来了，emmm影响排版。